Analysis Klasse 11

1. Gegeben ist die Funktion f durch:      .
1. Untersuchen Sie die Funktion f(x):
   Geben Sie den Definitionsbereich an.
   Berechnen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse.
   Berechnen Sie das Verhalten im Unendlichen einschließlich der Asymptotengleichung.
   Berechnen Sie die Polstellen und geben Sie das Verhalten der Funktion an der Polstelle an.
   Weisen Sie nach, dass die Funktion weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung ist.
   
2. Ermitteln Sie die 1.Ableitung der Funktion f(x).
   Begründen Sie, mittels des Graphen der Funktion f´(x), dass f(x) nicht mehr als zwei lokale Extremstellen besitzt.
3. Der Graph hat zwei lokale Extrempunkte. Ermitteln Sie diese einschließlich notwendiger und hinreichender Bedingung. Nutzen Sie dazu den GTR ohne die Grafikebene des Rechners.
4. Ermitteln Sie die Wendestellen von f(x) im IV. Quadranten mit dem GTR. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
5. Skizzieren Sie den Graph der Funktion f und die Asymptote von f(x) in einem geeigneten Intervall.
2. Gegeben sind Funktionen f_k: f_k(x) = 2kx - kx³   
1. Zeigen Sie, daß alle Graphen f_k drei Punkte gemeinsamen haben und geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.
2. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente an den Graph von f_k an der Wendestelle in Abhängigkeit von k!
3. Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von f_k(x) in Abhängigkeit von k.
4. Geben Sie die Gleichung der Kurve an, die durch alle lokalen Maximumpunkte von f_k(x) für k > 0 verläuft.

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